Karmaşık sayılar 11. sınıf konu anlatım, Karmaşık sayılar 12. sınıf konu anlatım, matematik Karmaşık sayılar konu anlatım,

KARMAŞIK SAYILAR

ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 &THORN; x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.

Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

A. TANIM:

a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.

( i = Ö-1 &THORN; i² = -1 dir.)

z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Örnek:

Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

Z2 = 2 - 3i &THORN; Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,

Z3 = Ö3 + i &THORN; Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,

Z4 = 7 &THORN; Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,

Z5 = 10i &THORN; Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.



Örnek:

x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.


Çözüm:

Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²

X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.

2a 2.1 2

Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.





B. İ ‘NİN KUVVETLERİ



iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.



Buna göre , n Î N olmak üzere,



i4n = 1

i4n + 1 = i

i4n + 2 = -1

i4n + 3 = -i dir






Örnek:


( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.



Çözüm:

i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1

i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i

i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i

i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,



(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.

C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ



Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.



Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.

Z2 = c + di }




Örnek:

Z1 = a + 3 + 2bi + 3i

Z 2 = 8 + (a + b)i

Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.



Çözüm:

Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,

a + 3 = 8 &THORN; a = 5

2b + 3 = a + b &THORN; 2b + 3 = 5 + b &THORN; b = 2 dir.



Örnek:

Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i

Z2 = 0

Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.





Çözüm:

Z1 = Z2 olduğundan,

a – 2 = 0 &THORN; a =2,

a + b + 3 = 0 &THORN; 2 + b + 3 = 0 &THORN; b = -5 tir.

O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.



D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ




_

Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.





Örnek:
_

1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,

_

2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,

_

3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,

_

4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,

_

5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir.



Örnek:

Z = a + bi olmak üzere,

_

3 . Z – 1 = 2(4 – i)

olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.



Çözüm:

_

3 . Z – 1 = 2(4 – i)

3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i

3a – 1 – 3bi = 8 – 2i

olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.



3a – 1 = 8 &THORN; 3a = 9 &THORN; a = 3 ve

-3b = -2 &THORN; b = 2/3 tür.



O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3


Not:



__

1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )

.

2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni

_

karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.





E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM


1) Toplama - Çıkarma



Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).



Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )

&THORN;

Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )





Örnek:




Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,



Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )