KOMBİNASYON

KOMBİNASYON (GRUPLAMA)
olmak koşuluyla, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir.
n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, K(n, r), Crn ya da ile gösterilir.
n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı:

Kural

Kural
n Î N olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin;
0 elemanlı alt kümelerinin sayısı :
1 elemanlı alt kümelerinin sayısı :
2 elemanlı alt kümelerinin sayısı:
. . .
n elemanlı alt kümelerinin sayısı:
olduğundan tüm alt kümelerinin sayısı:

BİNOM AÇILIMI

TANIM
n doğal sayı olmak üzere,

eşitliklerine binom açılımı denir.
sayılarına binom kat sayıları denir.
ifadelerinin her birine terim denir.
ifadesinde kat sayı, xn� ile yr terimin çarpanlarıdır.

Kural
(x + y)n açılımında n + 1 tane terim vardır.
(x + y)n açılımında her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n sayısına eşittir.
(x + y)n ifadesinin kat sayılarının toplamı x ile y yerine 1 yazılarak,
(1 + 1)n = 2n bulunur.
(x + y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için x ile y yerine 0 yazılır.
(x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan r + 1 inci terim:

(x + y)2n nin açılımındaki ortanca terim:

PERMÜTASYON

A. SAYMANIN TEMEL KURALI
1. Toplama Kuralı
Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir.
Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.

olmak üzere,


Sonuç
Ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

2. Çarpma Kuralı
2 tane elemandan oluşan (a1, a2) ifadesine sıralı ikili denir. Benzer biçimde
(a1, a2, a3) ifadesine sıralı üçlü
(a1, a2, a3, a4) ifadesine sıralı dörtlü
. . .
(a1, a2, a3, ... , an) ifadesine sıralı n li denir.
A ve B sonlu iki küme olsun
s(A) = m
s(B) = n
olmak üzere,
s(A × B) = s(A) × s(B) = m × n dir.
A × B kümesi birinci bileşenleri A dan ikinci bileşenleri B den alınan sıralı ikililerden oluşur.

Sonuç
İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte
m × n
yolla yapılabilir.


B. FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.


Sonuç


C. PERMÜTASYON (SIRALAMA)
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı :


Sonuç
1. P(n, n) = n!
2. P(n, 1) = n


1. Dairesel (Dönel) Permütasyon
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir.
Elemanlardan biri sabit tutularak n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n �1)! ile bulunur.

2. Tekrarlı Permütasyon
n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r. çeşitten olsun.
n = n1 + n2 + ... + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,



OLASILIK

A. OLASILIK TERİMLERİ
1. Deney
Bir madeni para atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini, bir zar atıldığında sonucun ne olacağını, tespit etme işlemidir.
2. Sonuç
Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) verilen isimdir. Her bir sonuç bir örnek nokta olarak da adlandırılır.
3. Örnek Uzay
Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümedir. Diğer bir ifadeyle örnek noktaların tamamını eleman kabul eden kümedir. (Örnek uzaya evrensel küme de denir.) Örnek uzay genellikle E ile gösterilir.
4. Olay
Bir örnek uzayın her bir alt kümesine verilen isimdir.
5. İmkansız Olay
E örnek uzayı için boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.
6. Kesin Olay
E örnek uzayına kesin (mutlak) olay denir.
7. Ayrık Olaylar
A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.
A Ç B = Æ ise A ve B olaylarına ayrık olaylar denir.

B. OLASILIK FONKSİYONU
E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme K olsun.
P : K ® [0, 1]
şeklinde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A Î K ise P(A) reel sayısına A olayının olasılığı adı verilir.
P fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlar.
1. Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir.
2. Evrensel kümenin meydana gelme olasılığı, P(E) = 1 dir.
3. İmkansız olayların meydana gelme olasılığı P(Æ) = 0 dır.
4. A Î K, B Î K ve A Ç B = Æ ise, P(A È B) = P(A) + P(B) dir.

Kural
E örnek uzayında herhangi iki olay A ve B; A nın tümleyeni A' olsun. P olasılık fonksiyonu olmak üzere,
1. A Ì B ise P(A) £ P(B) dir.
2. P(A') = 1 �P(A) dır.
3. P(A È B) = P(A) + P(B) �P(A Ç B) dir.


C. EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY
Sonlu bir E = {e1, e2, e3, ... , en} örnek uzayı için,
P(e1) = P(e2) = P(e3) = ... = P(en)
ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir.
E, eş olumlu örnek uzayı ve A Î E ise A olayının olasılığı,

dır.

Kural
n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, bu deneyde örnek uzay 2n elemanlıdır.


D. BAĞIMSIZ OLAYLAR VE BAĞIMLI OLAYLAR
A ve B aynı örnek uzayına ait olaylar olsun. Bu olaylardan birinin elde edilmesi diğerinin elde edilmesini etkilemiyorsa A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir. Eğer iki olay bağımsız değilse, bu olaylara birbirlerine bağımlıdır denir.

Kural
A ve B bağımsız olaylar olmak koşuluyla
P(A) ¹ 0 ve P(B) ¹ 0 ise,
A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı
P(A Ç B) = P(A) × P(B) dir.
A nın veya B nin gerçekleşme olasılığı
P(A È B) = P(A) + P(B) �P(A Ç B) dir.


E. KOŞULLU OLASILIK
A ile B, E örnek uzayında iki olay olsun. P(B) > 0 olmak üzere; B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının olasılığına, A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı veya kısaca A nın B koşullu olasılığı denir ve P(A / B) şeklinde gösterilir.