Matematik - Karmaşık Sayılar - Konu Anlatım - 11 Sınıf
#1

Karmaşık sayılar 11. sınıf konu anlatım, Karmaşık sayılar 12. sınıf konu anlatım, matematik Karmaşık sayılar konu anlatım,

KARMAŞIK SAYILAR

ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 &THORN; x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.

Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

A. TANIM:

a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.

( i = Ö-1 &THORN; i² = -1 dir.)

z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Örnek:

Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

Z2 = 2 - 3i &THORN; Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,

Z3 = Ö3 + i &THORN; Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,

Z4 = 7 &THORN; Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,

Z5 = 10i &THORN; Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.



Örnek:

x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.


Çözüm:

Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²

X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.

2a 2.1 2

Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.





B. İ ‘NİN KUVVETLERİ



iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.



Buna göre , n Î N olmak üzere,



i4n = 1

i4n + 1 = i

i4n + 2 = -1

i4n + 3 = -i dir






Örnek:


( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.



Çözüm:

i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1

i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i

i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i

i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,



(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.

C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ



Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.



Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.

Z2 = c + di }




Örnek:

Z1 = a + 3 + 2bi + 3i

Z 2 = 8 + (a + b)i

Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.



Çözüm:

Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,

a + 3 = 8 &THORN; a = 5

2b + 3 = a + b &THORN; 2b + 3 = 5 + b &THORN; b = 2 dir.



Örnek:

Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i

Z2 = 0

Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.





Çözüm:

Z1 = Z2 olduğundan,

a – 2 = 0 &THORN; a =2,

a + b + 3 = 0 &THORN; 2 + b + 3 = 0 &THORN; b = -5 tir.

O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.



D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ




_

Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.





Örnek:
_

1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,

_

2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,

_

3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,

_

4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,

_

5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir.



Örnek:

Z = a + bi olmak üzere,

_

3 . Z – 1 = 2(4 – i)

olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.



Çözüm:

_

3 . Z – 1 = 2(4 – i)

3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i

3a – 1 – 3bi = 8 – 2i

olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.



3a – 1 = 8 &THORN; 3a = 9 &THORN; a = 3 ve

-3b = -2 &THORN; b = 2/3 tür.



O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3


Not:



__

1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )

.

2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni

_

karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.





E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM


1) Toplama - Çıkarma



Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).



Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )

&THORN;

Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )





Örnek:




Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,



Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )
Bir ülkenin geleceği mühendislerinin becerisi ile sınırlıdır..!

Taklitlerimden ve WebKutlu.Com taklitlerinden sakının  Smile

Cevapla
Konu ile Alakalı Benzer Konular
Matematik Toplam Sembolleri ve Çarpım Sembolleri Testleri Ve çözümleri
Matematik Denklem Çözme Videolu Anlatım
Matematik - 10.Sınıf Parabol Konu Anlatım
Matematik - 9. Sınıf Mantık Cevaplı Sorular
7.sınıf tamsayılar test soruları
Matematik - Logaritma Soruları ve Çözümleri (100 Adet)
Matematik - Çarpanlara Ayırma Soruları - Çarpanlara Ayırma Testi
Matematik - 10.Sınıf 2.Dereceden Denklemler Konu Anlatım
Matematik - Trigonometri 4 - Konu Anlatım
Matematik - Trigonometri 3 - Konu Anlatım




Konuyu Okuyanlar: 1 Ziyaretçi